中学数学竞赛的经验-白红宇

中学数学竞赛的经验

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发布时间：2019-06-14

本文共 2596 字，大约阅读时间需要 8 分钟。

全国高中数学联赛

中国数学奥林匹克

如何评价 2017 年中国数学奥林匹克（33 届全国中学生数学冬令营）试题？

(邓煜)就点评一下第三题吧，刚好最近做的东西和有理逼近有点关系所以还挺excited的……

设 $\alpha=q^{1/3}$ ，如果要估计 $\{n\alpha\}$ 的下界那么最好只能做到 $n^{-2}$ （Liouville定理……什么Roth定理就别想了），所以题目加上了个 $\{n\alpha^2\}$ 。假设 $n\alpha$ 和 $n\alpha^2$ 都很接近整数，然后呢？最简单的想法是我们多了一个条件，所以想通过组合它们得到更精确的逼近。这就引出形如 $n(a\alpha^2+b\alpha+c)$ 的量来。为了能控制它的小数部分我们需要 $|a\alpha^2+b\alpha+c|$ 很小但不能太小。

引理对任何L，存在整数满足
$|a|\leq L\alpha^{-2},|b|\leq L\alpha^{-1},|c|\leq L$ ，不全为0，使得
$1/(9L^2)\leq|a\alpha^2+b\alpha+c|\leq (12q)/L^2$ 。

证明设 $\beta,\gamma$ 为q的另两个三次方根，由 $|a\alpha^2+b\alpha+c|\cdot|a\beta^2+b\beta+c|\cdot|a\gamma^2+b\gamma+c|\geq 1$ 可得左边不等式；又考虑所有的 $x\alpha^2+y\alpha+z$ ，其中 $|x|\leq L\alpha^{-2}/2,|y|\leq L\alpha^{-1}/2,|z|\leq L/2$ ，由抽屉原理可得右边。

原题设 $\max(\{n\alpha\},\{n\alpha^2\})=\varepsilon$ ，取 $L=\sqrt{24nq}$ ，并按引理取 $(a,b,c)$ ，则由引理可得 $n/(9L^2)\leq|n(a\alpha^2+b\alpha+c)|\leq (12nq)/L^2=1/2$ 。又 $n(a\alpha^2+b\alpha+c)$ 与整数的距离不超过 $\varepsilon(|a|+|b|)\leq 2L\alpha^{-1}\varepsilon$ ，于是 $n/(9L^2)\leq 2L\alpha^{-1}\varepsilon$ ， $\varepsilon\geq(n\alpha)/(18L^3)>q^{-7/6}n^{-1/2}/2250$ 。

这里常数差得比较多（好像标准答案能做到 $O(q^{-1/2})$ ），但好处在于可以立即推广到任意代数数：若 $\alpha$ 是m次代数数，则对任何 $1\leq k\leq m-1$ 有 $\sum_{j=1}^k\{n\alpha^j\}\geq cn^{1-m/k}$ 。

(谢卓凡 )利益相关:今年&去年国集

先挨个评点一下题目，顺序按我看了解答后私以为的难度顺序从易到难:

1是送分题几乎无悬念的，直接设 $b=kp-a$ (显然得这么设)然后二项式展开 $mod p^3$ 就结束了。也可以看做是指数提升引理的直接应用。反正没什么难度，除了过程长之外完全是一道联赛1/2级别的题

2也是半送分题，唯一的难点在于"一个红立方体等价于两个相邻平面在同一个位置有红正方形"，想到之后再用"一维→二维→三维"的套路即可。(虽然得分率据说只有1/6)放在联赛3应该是完全可以的，比起今年联赛3应该是只易不难

4有很多人的评价是道联赛1/2几何，但个人认为作为一道纯几何应该并没有那么简单，有大量的大神用的是三角法计算/没做出来（即几何偏弱的国集选手做它是有困难的）。不过总的来说应该是半送分题

6一道蛮有区分度的题，但仍然属于半送分题。各种解法(比如固定 $x_{i}-a_{i}=y_{i}$ 差然后做商，用调整法把 $a_{i}$ 调到顶点，之后用均值把 $y_{i}$ 调整到正的全相等，负的全相等，然后剩二元随便干[比如求导，局部之类的都是不难的做法])都不难想到，属于常见套路。并且在放在6的情况下(有3的教训应该不少人默认它是难题然后没攻)仍有1/6的得分率，应该不能算难题。

3是一道很好的好题，除了区分度略低之外。如果网上流传的付云皓老师的五行证明(就是均值+奇异公式那个)是标答的话，那么这道题简直满足好题的所有定义(解答短且易，思路难且坑多)

5貌似是一道屠场题，目前不知道有人做了出来。据说俄罗斯都全挂。

之后再发表一些个人看法/评价:

1.题目结构是1(or2,如果第四题算的话)送分，3(or2)半送分，1巨难，1屠场。区分度较低，进队只需接住送分+过程写得好+会"骗分"即可（有人嘲讽它是“过程书写奥林匹克”，但个人认为整理好自己的思路，把过程写清楚不丢分也是数学中很重要的一部分）

2.5和6的顺序也许是故意颠倒。就算老师视角看题的难度和学生视角不一，也不至于差这么多，5和6根本就不在同一等级。同时，这样并不符合1245ACGN各1的规律。个人推测是故意颠倒以模仿IMO赛场可能出现的意外情况，测试学生心理素质(筛去部分因为3会放弃6的学生)

以上

以及求求那群"谢邀，但我没搞过竞赛"的那群人能不能不要尬答了，很浪费阅读者时间的。

P.S.顺手庆祝一下北京12个国集，希望国家队人数上能再突破一下

如何学习数学竞赛

题主高一，女生，刚开始选竞赛的时候放弃了机会，去学踢足球了，现在不知道老师还会不会拉我进去，是否可以完全自学，那么需要哪些知识储备？

（我在数学最好的教改班，考试数学万年第二，年级在前十波动。另外语数英三科在年级前二波动。）https://www.zhihu.com/question/40448170

(高继扬)先回答楼主的问题吧，最好让老师教你。自学不是不可以，但在数学竞赛上自学很容易走弯路，比如受到一些非典型的题目解法的影响而改不过来（见过很多），真正的考试题反而不适应。最好有一个老师带着你入门，帮你遴选训练题，等有一定基础知道该学什么再自学。

而知识储备方面，可以说多也可以说少。

少是相对于理化生竞赛来说的。竞赛大纲就那么一点内容，真正需要学的知识点不过解析几何，三角函数和复数（空间几何竞赛不考），这些以楼主的综合水平看应该没什么问题，这些是一定要掌握的。但是多是指它的方法和思维变化无穷。随便拿一道竞赛题吧：求证存在无穷多个整数n使得 $n^{2}+1$ 没有平方约数（1不算）你学过整除之后就可以看的懂这道题，但是看懂和做出来是完全两码事。当然这道题也不是很难，只要稍微有一点数学分析的思想就可以秒杀了。那我能说学整除就够了学数学分析算什么，但是真正有用的不是知识而是背后的思想。如果不这样那费马大定理和哥德巴赫猜想也不会难倒那么多数学家了。（当然这其实也正是数学竞赛最吸引人的地方）

所以说这里是想告诉楼主要多用知识武装自己，要勤练习。基本知识学完后看蓝色小丛书或者单墫老师的数学竞赛研究教程，中等数学的增刊一二也要刷，一试二试模拟题练起来，有空的话可以去看看二潘的初等数论，对数论学习也很有帮助。这些是需要时间和精力的，高一一点都不晚但是需要从现在开始努力。正如楼上说的那样，这绝不是一条捷径。

此外，题主没有提到自己的学校和地区，但是弱省和强省的差距是非常大的，比如新疆一年来CMO的只有四五个人，但北京却可以有25人，哪个考出来的难度大？在本地的超级中学和在一所小学校区别也非常大。就拿我所在的学校来说吧，我们这里的冬令营名额常年被三所超级中学瓜分，其他学校五年总共只有一个人进了冬令营，在哪里成功的概率大一点？这里面当然有资源分配的因素，比如好学校才有好老师，才能提供条件天天供你练习，所以希望答主慎而又慎。

这里也不是在泼楼主冷水啊。数学竞赛本质上和足球一样都是一种“竞技”，只不过这个是脑力的而已。你如果真心喜欢的话就去做吧！

p.s. 之前提到的那唯一一位非超级中学的同学后来进了IMO，所以说一切皆有可能～

p.p.s 楼主说自己是女生，那么可以问问自己的学校有没有CGMO的名额，有的话可以尝试一下，前十二还可以各种福利（广大男同胞哭瞎）

就酱

转载于:https://www.cnblogs.com/ilovemy98LZY/p/8094157.html

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